維的情況也是如此。我們可以描繪四維宇宙的彎曲幾何，不需要離開這個宇宙，也不需要參照什麼假想的更大空間，且看這是如何做到的。

彎曲空間的數學理論是在19世紀，主要由本哈·黎曼（Bernhard　Riemann）發展出來的。即使是最簡單的情況，彎曲幾何的特性也是歐幾里德幾何完全沒有的。

再次考慮一個球面。這是一個二維空間，曲率為正值且均勻（各點都一樣），因為兩個曲率半徑都等於球面的半徑。連線球面上兩個分離點的最短路線是一個大圓的一段弧，即以球心為中心畫在球面上的一個圓的一部分。大圓之於球面正如直線之於平面，二者都是測地線，就是最短長度的曲線。一架不停頓地由巴黎飛往東京的飛機，最省時間的路線是先朝北飛，經過西伯利亞，再朝南飛，這才是最短程路線。由於所有大圓都是同心的，其中任何兩個都相交於兩點（例如，子午線相交於兩極），換句話說，在球面上沒有平行的“直線”。

已可看出歐幾里德幾何是被無情地踐踏了。熟知的歐氏幾何定律只能應用於沒有任何彎曲的平坦空間，一旦有任何彎曲，這些定律就被完全推翻了。球面最明顯的幾何性質是：與平面上直線的無限延伸不同，如果誰沿著球面上的直線（即沿著大圓）運動，他將總是從相反方向上回到出發點。因此，球面是有限的，或者說封