明

就約束3而言，我們有以下內容:

給定任意無限語言Lk，λ，其中λ ＜ k，且k ≥ w1，對於所有句子σ，∈∈lk，λ，使得∈σ，如果n為任意長度，則|= σ不隱含▎σ

V-邏輯的不完全性是一個特例。

我們有以下內容:

1.如果v是不可數的，那麼有γ，?使得γ| = v?aγv ?.

2.如果v在我們的v-邏輯多元宇宙理論t中是不可數的，那麼就沒有“真正的”外部模型w . s . t . v .?w，也就是說，沒有斷言其存在的v-邏輯理論的v-邏輯語義對應物。

3.因此，如果V是不可數的，約束3不滿足，約束2僅在語法上完全滿足:我們只能透過斷言它們存在的理論來表示V的擴充套件。

4.如果v在我們的v-邏輯多元宇宙理論t中是不可數的，那麼就沒有“真正的”外部模型w . s . t . v .?w，也就是說，沒有斷言其存在的v-邏輯理論的v-邏輯語義對應物。

因此，如果V是不可數的，約束3不滿足，約束2僅在語法上完全滿足:我們只能透過斷言它們存在的理論來表示V的擴充套件。

修正1(超宇宙):最簡單的解決方案是假設V是可數的(V-邏輯對於V可數是完整的)。

然而，這在哲學上是有問題的。

修正2:我們滿足於(公理化的)理論。由於各種原因，這種修復似乎更好，因為:

多元宇宙將在沒有任何‘直覺’的情況下發展

我們仍然有多元宇宙成員的清晰表述

從歷史上看，關注公理而不是語義在許多方面已經被證明是足夠的

對於?的每一個陳述和地面宇宙的每一個外部模型m，如果m |= ?，那麼在v-邏輯中有一個?的證明

任何相容的V-邏輯理論t都有V中的模型。

這個公理將解決“不完全性問題”，確保每個純語義陳述的V-邏輯中存在一個證明V

然而，目前還不清楚該公理應如何表述以顯得“自然”，以及為什麼它應被接受

更正式的說法是，?m[γm??| =?= ?].

因此，V邏輯多元宇宙理論可以被視為下列公理的集合:

1.基礎集合理論(bSt)

2.(寬度多元宇宙)對所有ψ，和?=“w

?(英國夏令時+ ?)

|= ψ”(其中進一步的公理？例如:Imh(和細化)，完整性等。

如前所述，語言是Lk+，w，具有單獨的常數:V

對於V和w，每個a ∈ V。

對於w，和無窮多個單獨的常數a

增加一個高度多元宇宙(由頂端延伸的五)

使用更強的無窮邏輯:Lk，w且k(至少)a

難以接近的紅衣主教(見下一張幻燈片)

附加公理:例如，多元宇宙公理，如Imh(極大性)

考慮“替代的”V-邏輯:例如，如果V = L，考慮L-邏輯多元宇宙:這看起來是一個人可以擁有的最廣泛的基於V-邏輯的多元宇宙概念(因為所有與L相容的宇宙也與L的任何擴充套件相容)

考慮Vw邏輯。這相當於V-邏輯，只是這裡V

僅僅是秩初始段Vw

這個邏輯是完整的(因為Lw1，w中的w-完備性定理)

現在，考慮下一個完整的無限邏輯Lk，w，其中k

至少是很難接近的。

問:有可能基於Lk，w定義一個vk-邏輯嗎

也是完整的。

後一點導致以下可能的約束\/原則:

給定v的一個延拓，比如說v∫，s . t . v .?v∫，每當有一個w延拓V s.t. w |= ?，我們就有一個對應的w∫，延拓v∫s . t . w∫| = ?.

cUh斷言，如果我們用一個更大的V *代替V，圍繞一個更大的V *構建的多元宇宙不會減少與V相容的真理集，也就是說，V *擁有與V一樣多的相容宇宙。

cUh也可以被看作是V的一個獨立的和新的極大性原理(可能導致V成為V邏輯多元宇宙的‘極大核心’？).

(問題1)考慮不同的基礎理論，例如:

t